伸展樹簡介
伸展樹(Splay Tree)是特殊的二叉查找樹。
它的特殊是指，它除了本身是棵二叉查找樹之外，它還具備一個特點: 當某個節點被訪問時，伸展樹會通過旋轉使該節點成為樹根。這樣做的好處是，下次要訪問該節點時，能夠迅速的訪問到該節點。
特性
1.和普通的二叉查找樹相比，具有任何情況下、任何操作的平攤O(log2n)的復雜度，時間性能上更好
2.和一般的平衡二叉樹比如 紅黑樹、AVL樹相比，維護更少的節點額外信息，空間性能更優，同時編程復雜度更低
3.在很多情況下，對于查找操作，后面的查詢和之前的查詢有很大的相關性。這樣每次查詢操作將被查到的節點旋轉到樹的根節點位置，這樣下次查詢操作可以很快的完成
4.可以完成對區間的查詢、修改、刪除等操作，可以實現線段樹和樹狀數組的所有功能
旋轉
伸展樹實現O(log2n)量級的平攤復雜度依靠每次對伸展樹進行查詢、修改、刪除操作之后，都進行旋轉操作 Splay(x, root)，該操作將節點x旋轉到樹的根部。
伸展樹的旋轉有六種類型，如果去掉鏡像的重復，則為三種：zig(zag)、zig-zig(zag-zag)、zig-zag(zag-zig)。
1 自底向上的方式進行旋轉
1.1 zig旋轉 
如圖所示，x節點的父節點為y，x為y的左子節點，且y節點為根。則只需要對x節點進行一次右旋(zig操作)，使之成為y的父節點，就可以使x成為伸展樹的根節點。
1.2 zig-zig旋轉 
如上圖所示，x節點的父節點y，y的父節點z，三者在一字型鏈上。此時，先對y節點和z節點進行zig旋轉，然后再對x節點和y節點進行zig旋轉，最后變為右圖所示，x成為y和z的祖先節點。
1.3 zig-zag旋轉 
如上圖所示，x節點的父節點y，y的父節點z，三者在之字型鏈上。此時，先對x節點和y節點進行zig旋轉，然后再對x節點和y節點進行zag旋轉，最后變為右圖所示，x成為y和z的祖先節點。
2 自頂向下的方式進行旋轉這種方式不需要節點存儲其父節點的引用。當我們沿著樹向下搜索某個節點x時，將搜索路徑上的節點及其子樹移走。構建兩棵臨時的樹——左樹和右樹。沒有被移走的節點構成的樹稱為中樹。
(1) 當前節點x是中樹的根
(2) 左樹L保存小于x的節點
(3) 右樹R保存大于x的節點
開始時候，x是樹T的根，左樹L和右樹R都為空。三種旋轉操作：
2.1 zig旋轉 
如圖所示，x節點的子節點y就是我們要找的節點，則只需要對y節點進行一次右旋(zig操作)，使之成為x的父節點，就可以使y成為伸展樹的根節點。將y作為中樹的根，同時，x節點移動到右樹R中，顯然右樹上的節點都大于所要查找的節點。
2.2 zig-zig旋轉 
如上圖所示，x節點的左子節點y，y的左子節點z，三者在一字型鏈上，且要查找的節點位于z節點為根的子樹中。此時，對x節點和y節點進行zig，然后對z和y進行zig，使z成為中樹的根，同時將y及其子樹掛載到右樹R上。
2.3 zig-zag旋轉
如上圖所示，x節點的左子節點y，y的右子節點z，三者在之字型鏈上，且需要查找的元素位于以z為根的子樹上。此時，先對x節點和y節點進行zig旋轉，將x及其右子樹掛載到右樹R上，此時y成為中樹的根節點；然后再對z節點和y節點進行zag旋轉，使得z成為中樹的根節點。
2.4 合并 
最后，找到節點或者遇到空節點之后，需要對左、中、右樹進行合并。如圖所示，將左樹掛載到中樹的最左下方（滿足遍歷順序要求），將右樹掛載到中樹的最右下方（滿足遍歷順序要求）。
伸展樹的實現
1.節點
public class SplayTree<T extends Comparable<T>> {
private SplayTreeNode<T> mRoot; // 根結點
public class SplayTreeNode<T extends Comparable<T>> {
T key; // 關鍵字(鍵值)
SplayTreeNode<T> left; // 左孩子
SplayTreeNode<T> right; // 右孩子
public SplayTreeNode() {
this.left = null;
this.right = null;
}
public SplayTreeNode(T key, SplayTreeNode<T> left, SplayTreeNode<T> right) {
this.key = key;
this.left = left;
this.right = right;
}
}
}
SplayTree是伸展樹，而SplayTreeNode是伸展樹節點。在此，我將SplayTreeNode定義為SplayTree的內部類。在伸展樹SplayTree中包含了伸展樹的根節點mRoot。SplayTreeNode包括的幾個組成元素:
(1) key – 是關鍵字，是用來對伸展樹的節點進行排序的。
(2) left – 是左孩子。
(3) right – 是右孩子。
2.旋轉
/*
* 旋轉key對應的節點為根節點，并返回根節點。
*
* 注意：
* (a)：伸展樹中存在"鍵值為key的節點"。
* 將"鍵值為key的節點"旋轉為根節點。
* (b)：伸展樹中不存在"鍵值為key的節點"，并且key < tree.key。
* b-1 "鍵值為key的節點"的前驅節點存在的話，將"鍵值為key的節點"的前驅節點旋轉為根節點。
* b-2 "鍵值為key的節點"的前驅節點存在的話，則意味著，key比樹中任何鍵值都小，那么此時，將最小節點旋轉為根節點。
* (c)：伸展樹中不存在"鍵值為key的節點"，并且key > tree.key。
* c-1 "鍵值為key的節點"的后繼節點存在的話，將"鍵值為key的節點"的后繼節點旋轉為根節點。
* c-2 "鍵值為key的節點"的后繼節點不存在的話，則意味著，key比樹中任何鍵值都大，那么此時，將最大節點旋轉為根節點。
*/
private SplayTreeNode<T> splay(SplayTreeNode<T> tree, T key) {
if (tree == null)
return tree;
SplayTreeNode<T> N = new SplayTreeNode<T>();
SplayTreeNode<T> l = N;
SplayTreeNode<T> r = N;
SplayTreeNode<T> c;
for (; ; ) {
int cmp = key.compareTo(tree.key);
if (cmp < 0) {
if (key.compareTo(tree.left.key) < 0) {
c = tree.left; /* rotate right */
tree.left = c.right;
c.right = tree;
tree = c;
if (tree.left == null)
break;
}
r.left = tree; /* link right */
r = tree;
tree = tree.left;
} else if (cmp > 0) {
if (tree.right == null)
break;
if (key.compareTo(tree.right.key) > 0) {
c = tree.right; /* rotate left */
tree.right = c.left;
c.left = tree;
tree = c;
if (tree.right == null)
break;
}
l.right = tree; /* link left */
l = tree;
tree = tree.right;
} else {
break;
}
}
l.right = tree.left; /* assemble */
r.left = tree.right;
tree.left = N.right;
tree.right = N.left;
return tree;
}
public void splay(T key) {
mRoot = splay(mRoot, key);
}
}
上面的代碼的作用：將”鍵值為key的節點”旋轉為根節點，并返回根節點。它的處理情況共包括：
(a)：伸展樹中存在”鍵值為key的節點”。
將”鍵值為key的節點”旋轉為根節點。
(b)：伸展樹中不存在”鍵值為key的節點”，并且key < tree->key。
b-1) “鍵值為key的節點”的前驅節點存在的話，將”鍵值為key的節點”的前驅節點旋轉為根節點。
b-2) “鍵值為key的節點”的前驅節點存在的話，則意味著，key比樹中任何鍵值都小，那么此時，將最小節點旋轉為根節點。
(c)：伸展樹中不存在”鍵值為key的節點”，并且key > tree->key。
c-1) “鍵值為key的節點”的后繼節點存在的話，將”鍵值為key的節點”的后繼節點旋轉為根節點。
c-2) “鍵值為key的節點”的后繼節點不存在的話，則意味著，key比樹中任何鍵值都大，那么此時，將最大節點旋轉為根節點。
下面列舉個例子分別對a進行說明。
在下面的伸展樹中查找10，，共包括”右旋” –> “右鏈接” –> “組合”這3步。
01, 右旋
對應代碼中的”rotate right”部分
02, 右鏈接
對應代碼中的”link right”部分
03.組合
對應代碼中的”assemble”部分
提示：如果在上面的伸展樹中查找”70”，則正好與”示例1”對稱，而對應的操作則分別是”rotate left”, “link left”和”assemble”。
其它的情況，例如”查找15是b-1的情況，查找5是b-2的情況”等等，這些都比較簡單，大家可以自己分析。
3.插入
/**
* 將結點插入到伸展樹中，并返回根節點
* @param tree 伸展樹的根節點
* @param z 插入的結點
* @return
*/
private SplayTreeNode<T> insert(SplayTreeNode<T> tree, SplayTreeNode<T> z) {
int cmp;
SplayTreeNode<T> y = null;
SplayTreeNode<T> x = tree;
// 查找z的插入位置
while (x != null) {
y = x;
cmp = z.key.compareTo(x.key);
if (cmp < 0)
x = x.left;
else if (cmp > 0)
x = x.right;
else {
System.out.printf("不允許插入相同節點(%d)!\n", z.key);
z = null;
return tree;
}
}
if (y == null)
tree = z;
else {
cmp = z.key.compareTo(y.key);
if (cmp < 0)
y.left = z;
else
y.right = z;
}
return tree;
}
public void insert(T key) {
SplayTreeNode<T> z = new SplayTreeNode<T>(key, null, null);
// 如果新建結點失敗，則返回。
if ((z = new SplayTreeNode<T>(key, null, null)) == null)
return;
// 插入節點
mRoot = insert(mRoot, z);
// 將節點(key)旋轉為根節點
mRoot = splay(mRoot, key);
}
insert(key)是提供給外部的接口，它的作用是新建節點(節點的鍵值為key)，并將節點插入到伸展樹中；然后，將該節點旋轉為根節點。
insert(tree, z)是內部接口，它的作用是將節點z插入到tree中。insert(tree, z)在將z插入到tree中時，僅僅只將tree當作是一棵二叉查找樹，而且不允許插入相同節點。
4.刪除
/**
*
* @param tree 伸展樹
* @param key 刪除的結點
* @return
*/
private SplayTreeNode<T> remove(SplayTreeNode<T> tree, T key) {
SplayTreeNode<T> x;
if (tree == null)
return null;
// 查找鍵值為key的節點，找不到的話直接返回。
if (search(tree, key) == null)
return tree;
// 將key對應的節點旋轉為根節點。
tree = splay(tree, key);
if (tree.left != null) {
// 將"tree的前驅節點"旋轉為根節點
x = splay(tree.left, key);
// 移除tree節點
x.right = tree.right;
}
else
x = tree.right;
tree = null;
return x;
}
public void remove(T key) {
mRoot = remove(mRoot, key);
}
remove(key)是外部接口，remove(tree, key)是內部接口。
remove(tree, key)的作用是：刪除伸展樹中鍵值為key的節點。
它會先在伸展樹中查找鍵值為key的節點。若沒有找到的話，則直接返回。若找到的話，則將該節點旋轉為根節點，然后再刪除該節點。
伸展樹實現完整代碼
public class SplayTree<T extends Comparable<T>> {
private SplayTreeNode<T> mRoot; // 根結點
public class SplayTreeNode<T extends Comparable<T>> {
T key; // 關鍵字(鍵值)
SplayTreeNode<T> left; // 左孩子
SplayTreeNode<T> right; // 右孩子
public SplayTreeNode() {
this.left = null;
this.right = null;
}
public SplayTreeNode(T key, SplayTreeNode<T> left, SplayTreeNode<T> right) {
this.key = key;
this.left = left;
this.right = right;
}
}
/*
* 旋轉key對應的節點為根節點，并返回根節點。
*
* 注意：
* (a)：伸展樹中存在"鍵值為key的節點"。
* 將"鍵值為key的節點"旋轉為根節點。
* (b)：伸展樹中不存在"鍵值為key的節點"，并且key < tree.key。
* b-1 "鍵值為key的節點"的前驅節點存在的話，將"鍵值為key的節點"的前驅節點旋轉為根節點。
* b-2 "鍵值為key的節點"的前驅節點存在的話，則意味著，key比樹中任何鍵值都小，那么此時，將最小節點旋轉為根節點。
* (c)：伸展樹中不存在"鍵值為key的節點"，并且key > tree.key。
* c-1 "鍵值為key的節點"的后繼節點存在的話，將"鍵值為key的節點"的后繼節點旋轉為根節點。
* c-2 "鍵值為key的節點"的后繼節點不存在的話，則意味著，key比樹中任何鍵值都大，那么此時，將最大節點旋轉為根節點。
*/
private SplayTreeNode<T> splay(SplayTreeNode<T> tree, T key) {
if (tree == null)
return tree;
SplayTreeNode<T> N = new SplayTreeNode<T>();
SplayTreeNode<T> l = N;
SplayTreeNode<T> r = N;
SplayTreeNode<T> c;
for (; ; ) {
int cmp = key.compareTo(tree.key);
if (cmp < 0) {
if (key.compareTo(tree.left.key) < 0) {
c = tree.left; /* rotate right */
tree.left = c.right;
c.right = tree;
tree = c;
if (tree.left == null)
break;
}
r.left = tree; /* link right */
r = tree;
tree = tree.left;
} else if (cmp > 0) {
if (tree.right == null)
break;
if (key.compareTo(tree.right.key) > 0) {
c = tree.right; /* rotate left */
tree.right = c.left;
c.left = tree;
tree = c;
if (tree.right == null)
break;
}
l.right = tree; /* link left */
l = tree;
tree = tree.right;
} else {
break;
}
}
l.right = tree.left; /* assemble */
r.left = tree.right;
tree.left = N.right;
tree.right = N.left;
return tree;
}
public void splay(T key) {
mRoot = splay(mRoot, key);
}
/**
* 將結點插入到伸展樹中，并返回根節點
* @param tree 伸展樹的根節點
* @param z 插入的結點
* @return
*/
private SplayTreeNode<T> insert(SplayTreeNode<T> tree, SplayTreeNode<T> z) {
int cmp;
SplayTreeNode<T> y = null;
SplayTreeNode<T> x = tree;
// 查找z的插入位置
while (x != null) {
y = x;
cmp = z.key.compareTo(x.key);
if (cmp < 0)
x = x.left;
else if (cmp > 0)
x = x.right;
else {
System.out.printf("不允許插入相同節點(%d)!\n", z.key);
z = null;
return tree;
}
}
if (y == null)
tree = z;
else {
cmp = z.key.compareTo(y.key);
if (cmp < 0)
y.left = z;
else
y.right = z;
}
return tree;
}
public void insert(T key) {
SplayTreeNode<T> z = new SplayTreeNode<T>(key, null, null);
// 如果新建結點失敗，則返回。
if ((z = new SplayTreeNode<T>(key, null, null)) == null)
return;
// 插入節點
mRoot = insert(mRoot, z);
// 將節點(key)旋轉為根節點
mRoot = splay(mRoot, key);
}
/*
* 刪除結點(z)，并返回被刪除的結點
*
* 參數說明：
* bst 伸展樹
* z 刪除的結點
*/
/**
*
* @param tree 伸展樹
* @param key 刪除的結點
* @return
*/
private SplayTreeNode<T> remove(SplayTreeNode<T> tree, T key) {
SplayTreeNode<T> x;
if (tree == null)
return null;
// 查找鍵值為key的節點，找不到的話直接返回。
if (search(tree, key) == null)
return tree;
// 將key對應的節點旋轉為根節點。
tree = splay(tree, key);
if (tree.left != null) {
// 將"tree的前驅節點"旋轉為根節點
x = splay(tree.left, key);
// 移除tree節點
x.right = tree.right;
}
else
x = tree.right;
tree = null;
return x;
}
public void remove(T key) {
mRoot = remove(mRoot, key);
}
/*
* (遞歸實現)查找"伸展樹x"中鍵值為key的節點
*/
private SplayTreeNode<T> search(SplayTreeNode<T> x, T key) {
if (x==null)
return x;
int cmp = key.compareTo(x.key);
if (cmp < 0)
return search(x.left, key);
else if (cmp > 0)
return search(x.right, key);
else
return x;
}
public SplayTreeNode<T> search(T key) {
return search(mRoot, key);
}
/*
* 查找最小結點：返回tree為根結點的伸展樹的最小結點。
*/
private SplayTreeNode<T> minimum(SplayTreeNode<T> tree) {
if (tree == null)
return null;
while(tree.left != null)
tree = tree.left;
return tree;
}
public T minimum() {
SplayTreeNode<T> p = minimum(mRoot);
if (p != null)
return p.key;
return null;
}
/*
* 查找最大結點：返回tree為根結點的伸展樹的最大結點。
*/
private SplayTreeNode<T> maximum(SplayTreeNode<T> tree) {
if (tree == null)
return null;
while(tree.right != null)
tree = tree.right;
return tree;
}
public T maximum() {
SplayTreeNode<T> p = maximum(mRoot);
if (p != null)
return p.key;
return null;
}
}
來自：http://blog.csdn.net/u012124438/article/details/78067998
掃碼二維碼 獲取免費視頻學習資料
- 本文固定鏈接: http://www.wangchenghua.com/post/5821/
- 轉載請注明：轉載必須在正文中標注并保留原文鏈接
- 掃碼： 掃上方二維碼獲取免費視頻資料